老师
同学们好，我是来自北京市第一六六中学的数学教师桥梁。今天我和大家一起来学习函数的概念。在初中我们已经学习过函数的概念，知道了函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。你能说初中函数的定义吗？如果有两个变量 x 与y，并且对于 x 的每个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应，我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。
老师
带着这个定义，我们来看两个小问题，一、正方形的周长 l 与边长 x 的对应关系是什么？用 x 来表示， l 是 l 等于4X，这个函数与正比例函数 y 等于 4X 相同吗？第2个问题， y 等于 x 与 y 等于 x 分之 x 方是同一函数吗？可能大家心里有答案了，但是怎么解释呢？如果使用初中定义来解释，感觉好像不太够，所以为了解决这样的问题，我们需要进一步研究函数的定义。
老师
首先看几个实际的问题。一，若复星号高速列车加速道 350 千米，每小时保持匀速运行半小时，在这半小时内，列车行进的路程 s 与运行时间 t 的关系如何表示？匀速直线运动 s 应该等于速度乘以时间，所以 s 等于350T，这是一个函数吗？为什么？由于初中我们已经学习过函数怎样来判断，所以我们知道对于这个问题而言，可以这样来解释，对于任意时刻， t 都有唯一确定的路程， s 和它对应，因此 s 是 t 的函数。
老师
接下来有人说了，这趟列车加速到 350 千米，每小时后运行一小时就前进了 350 千米。你认为这个说法正确吗？一定有许多人特别同意的。我想问问那些认为正确的同学，你知不知道列车运行一小时的速度是多少？题目中只告诉我们应该是匀速运行半小时。我们的时间 t 是有范围的。如果按照不等式来解释的话， t 应该大于等于0，小于等于 0. 5。我们现在习惯于用一个集合的形式来表达自变量取的范围。好，那么在初中定义的基础上，我们认为如何来表示 s 与 t 的对应关系才能更精确？这个呈现是初中的说法。对于任意时刻， t 这个任意时刻就应该有范围了。我们不妨给一个集合，A1， A1 等于 0 小于等于 t 小于等于 0. 5 都有唯一确定的路程， s 也不是所有的实数也应该有范围。我们说在数集 B1 等于 0 小于等于 s 小于等于 175 中都有唯一确定的路程， s 和它对应。
老师
那如果进行这样的改动以后，我们发现这个变量 s 语 t 的范围都非常的