老师
同学们好，我是北京市第五十五中学的数学教师张一桥。前面我们用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系。今天我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算来研究圆与圆的位置关系。本节课我们会从三个方面展开对圆与圆位置关系的研究。首先我们会回顾圆与圆的位置关系，然后用代数的方法类比直线与圆的位置关系的判定方法，对圆与圆的位置关系的判定方法进行归纳与提炼。最后应用圆与圆的位置关系，在一类具体的问题上求动点轨迹的问题。首先我们一起回顾一下圆与圆有哪些位置关系。给大家两个选项， a 选项是圆与圆的位置关系分成三种，香梨、香切和香蕉。 b 选项是分成 5 种，外梨外切、香蕉内切内含。你会如何选择？其实a、 b 二个选项都是正确的， a 选项的分类标准是 2 元公共点的个数。 b 选项除了考虑公共点个数之外，还要考虑圆与圆其他点的相对位置关系。根据原与原公共点的个数，可以把 2 元位置关系分成三种。第一种， 2 元没有公共点，元与元相离。由于圆是一个封闭的图形，因此可以根据每个圆上的点都在另一个圆的圆外，或每个圆上的点都在另一个圆的圆内，分成源与源外离内涵。第二种位置关系，两圆只有一个公共点，圆与圆相切。在此基础上，除了公共点之外的其他点都在另一个圆的外部，或圆上的每一个点都在另一个圆的内部。针对这两种情况，我们分别定义了圆与圆、外切和内切。第三种， 2 元有两个公共点，等价于 2 元相交。圆与圆位置关系的判定除了考虑公共点的个数，还要观察两个图形之间的相对位置关系，二者相结合才能作出判断。如果我们换一个角度，通过圆心之间的距离的改变来判断位置关系，圆心之间的距离叫做圆心距。我们令 2 元的圆心句 o u r 等于d，当 d 等于 R1 加 R2 时，两圆的位置关系是 y 切。当 d 等于两圆半径差的绝对值时，它们的位置关系是内气。在这里解释一下， R1 减 R2 为什么要加绝对值的符号，是因为我们不能够确定两个圆的半径谁大谁小。
老师
本节课为了后面表达上的清晰，我们默认 R1 减 R2 就是大圆半径减小圆半径。当 d 大于两圆半径差小于两元半径和的时候，它们的位置关系是相交。当 d 大于两元半径和时，外离当地小于 2 元半径差时，内含。这就是第二种判断圆与圆位置关系的方法，即用两圆的圆心距与两圆半径和半径差的大小关系加以判断。下面我们运用这两个方法来判断两圆的